Équation diophantienne 144x - 169y = 2 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation $(E):144x-169y=2$ dans ${\mathbb{Z}}^2$ .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour $169$ et $144$ :
$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& q& r\\ 169& 144& 1& 25\\ 144& 25& 5& 19\\ 25& 19& 1& 6\\ 19& 6& 3& 1\\ 6& 3& 2& 0\\ \hline\end{array}\begin{array}{l}\\ \times (-23)\\ \times 4\\ \times (-3)\\ \times 1\\ \end{array}\end{array}$  
On a donc $\mathrm{PGCD}(144;169)=1$ , et comme $1$ divise $2$ , l'équation $(E)$ admet des solutions.

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
$\begin{array}{rl}169\times (-23)+144\times 4=144\times 1\times (-23)+1& ⟺144\times 27+169\times (-23)=1\\ & ⟺144\times 54+169\times (-46)=2\\ & ⟺144\times 54-169\times 46=2\end{array}$  donc $(x_0;y_0)=(54;46)$ est une solution particulière de $(E)$ .

Soit $(x;y)$ une solution de $(E)$ .
On a  $\begin{array}{rl}144x-169y=144\times 54-169\times 46& ⟺144(x-54)=169(y-46)\end{array}$ . 
On en déduit que $144$ divise $169(y-46)$ .
Or $\mathrm{PGCD}(144;169)=1$ , donc d'après le théorème de Gauss, $144$ divise $y-46$ , c'est-à-dire qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que  $\begin{array}{r}y-46=144k⟺y=144k+46\end{array}$ .
On a alors
$\begin{array}{rl}144(x-54)=169(y-46)& ⟺144(x-54)=169\times 144k\\ & ⟺x-54=169k\\ & ⟺x=169k+54.\end{array}$    
Ainsi, les solutions de $(E)$ sont des couples de la forme $(x;y)=(169k+54;144k+46)$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

Réciproquement, soit $k\in \mathbb{Z}$ quelconque et $(x;y)=(169k+54;144k+46)$ .
On a
$\begin{array}{rl}144x-169y& =144(169k+54)-169(144k+46)=144\times 54-169\times 46=2\end{array}$  
donc $(x;y)$ est solution de $(E)$ .

En conclusion, les solutions de $(E)$ sont données par $S=\{(169k+54;144k+46):k\in \mathbb{Z}\}$ .